设 $c_1,c_2,c_3,\ldots$ 是一列数, $C(t)=\sum_{n\leq t}c_n$. $f(t)$ 是 $t$ 的任意一个函数. 则有 \[\sum_{n\leq x}c_n f(n)=\sum_{n\leq x-1}[f(n)-f(n+1)]+C(x)f([x])\]
设 $c_1,c_2,c_3,\ldots$ 是一列数, $C(t)=\sum_{n\leq t}c_n$. $f(t)$ 是 $t$ 的任意一个函数. 则有
\[\sum_{n\leq x}c_n f(n)=\sum_{n\leq x-1}[f(n)-f(n+1)]+C(x)f([x])\tag{1}\]
此外, 若假设 $c_j=0$ 对于所有 $j<n_1$, 并且 $f(t)$ 对于 $t\geq n_1$ 有连续的导数, 则有
\[\sum_{n\leq x}c_n f(n)=C(x)f(x)-\int_{n_1}^{x}C(t)f^{'}(t)dt\tag{2}\]
References
G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford Science Publications.